مسعود ناصری
این مقاله تلاشی است در راستای بیان مطالب علمی دانشگاهی و تخصصی به زبانی ساده و با برخوردی متفاوت از کتاب‌های درسی. در این بحث به یکی از شاخه‌های مهم ریاضی به نام توپولوژی می‌پردازیم که علاوه بر آشنا کردن خوانندگان با مفاهیم و کاربردهای آن، جنبه انسانی ریاضیات را نیز نشان می‌دهد.
مطلب ارائه شده در اینجا به اقتباس از Topology: A Stretch of Imagination مایکل گویلن (Michael Guillen) است.
عمر همچون جوی نو نو می‌رسد مستمری می‌نماید در جسد*
همه ما هر از گاهی به این فکر افتاده‌ایم که چگونه گذر هر سال از عمر باعث تغییر در ظاهر انسان می‌شود و اینکه میزان این تغییر به ویژه در اوان کودکی و دوران کهنسالی چشمگیرتر است. در عین حال متوجه هستیم که پاره‌ای از ویژگی‌های ظاهری انسان بدون تغییر باقی می‌مانند.
اولین بار که من به این موضوع حساس شدم، وقتی بود که در یک گردهمایی با همکلاسی‌های دوران دبیرستان حضور پیدا کردم. هیجان دیدار به جای خود، ولی آنچه برایم عجیب آمد این بود که با وجود گذر چند دهه از آخرین روزهایی که همدیگر را دیده بودیم که جا پای زمان بر چهره و اندام هر یک از حضار مشهود بود، هیچ مشکلی در به جا آوردن دوستان و همکلاسی‌های سابق نداشتم! حتی در مواردی که تغییرات ظاهری فرد زیاد بود باز چیزهایی بودند که باقی مانده بود. وقتی بیشتر دقت کردم به نظرم رسید که آنها همان چیزهایی بودند که چند دهه قبل هم آن افراد را متمایز می‌کرد: حالت نگاه، بالاتر بودن ابروی راست، رفتار و اتیکت، لحن حرف زدن، رنگ پوست، خال گوشه چشم و … . همانقدر بگویم که در همان چند دقیقه اول ورودم به سالن نقشی را که در آخرین دیدارم از هر کدام در حافظه داشتم جای خود را به نقش جدید آنها داد. احساس عجیبی بود. انگار چیزی عوض نشده بود!
الان که دوباره به این موضوع فکر می‌کنم متوجه می‌شوم که این پدیده «پایداری پاره‌ای از ویژگی‌های یک سیستم، علیرغم تغییر خود آن سیستم» فقط به قیافه و ظاهر انسان محدود نمی‌شود؛ چون در طول تاریخ پیوسته عدهای متوجه تغییرناپذیری و استمرار پاره‌ای از ویژگی‌های سیستم‌های در حال تغییر بوده‌اند. مثلا بودایی‌ها در دین، کوبیست‌ها در نقاشی، توپولوژیست‌ها در ریاضیات و …این پدیده را تجربه کرده‌اند. در حقیقت، مبحث «پایداری در تغییر» در قلب چندین شاخه ریاضی هست و از آن جمله تقارن در «تئوری گروه» (Group Theory)، و بر مبنای همین نکته بود که فلیکس کلاین (Felix Klein) توانست در دهه 70 قرن نوزدهم شاخه‌های شناخته شده هندسه تا آنروز (از جمله توپولوژی) را طبقه‌بندی کند.
توپولوژی چیست؟
توپولوژی شاخه‌ای از ریاضی است که به مطالعه دسته خاصی از ویژگی‌های اجسام (اشکال) می‌پردازد، ویژگی‌هائی که در اثر دفورم شدن جسم (شکل) تحت خمش، کشش و پیچش بدون تغییر می‌مانند البته به شرطی که دفورم شدن موجب تخریب (مثلاً پاره شدن) جسم نشود. به عنوان مثال، سه نقطه را بر روی محیط یک حلقه در نظر بگیرید که علیرغم خمیدن، کشیدن و پیچاندن حلقه، ترتیب قرار گرفتنشان نسبت به همدیگر همچنان حفظ می‌شود. در توپولوژی، ویژگی‌هایی از این قبیل را که طی فرآیند دفورم کردن اجسام (با خمش، کشش و پیچش) تغییر نمی کنند «ویژگی های تغییرناپذیر توپولوژیکی» می نامند.
توپولوژی را باید مکمل هندسه‌ای دانست که در مدرسه با آن آشنا شدیم، هندسه‌ای که بنیان‌های آن حدود 2500 سال پیش توسط مصری‌ها گذاشته شده است، هندسه‌ای که اندازه‌های دقیق زاویه، طول، عرض و … اجسام و اشکال را مطالعه میکند و بعدها به خاطر کارهای مهم اقلیدس به هندسه اقلیدسی معروف گشت.
اندازه اجسام در هندسه اقلیدسی اهمیت دارند و بنابراین وقتی دایره‌ای بزرگتر بشود، دیگر دایره قبلی نخواهد بود چون اندازه‌های مشخص کننده آن تغییر می‌کنند. لیکن از نظر یک توپولوژیست آنچه مهم است ویژگی‌های تغییرناپذیر توپولوژیک است و مثلا یک دایره بزرگ شده همریخت دایره کوچک تعریف می‌شود و تغییر محیط دایره موضوعی پیش پا افتاده تلقی می‌گردد. از دیدگاه وی آنچه اهمیت دارد این است که دایره بزرگتر در تمام مراحل بزرگ شدنش، همان منحنی (یا حقله) بسته که یک درون و یک بیرون کاملا متمایز دارد باقی می‌ماند.
اگر با دید فلسفی به این بحث توجه کنیم، می‌شود چنین گفت که از نظر توپولوژیست‌ها، هندسه اقلیدسی ویژگی‌های گذرا و فانی اجسام (یا اشکال) را مطالعه میکند و مثلا زاویه بین دو لبه جسم (که می‌تواند در گذر زمان تغییر کند) یا قطر یک توپ کروی (که ممکن است در اثر فرسایش کاهش یابد) اهمیت دارند. در حالی که برای توپولوژی ویژگی‌های زوال‌ناپذیر اجسام و به عبارتی «گوهر وجود» یا «فروهر» آنها مهم هستند.
تعریفی که توپولوژی برای «فروهر» یک جسم (یا شکل) ارایه میکند عبارتست از «مجموعه ویژگی‌های تغییرناپذیر» آن جسم. مثلا در مورد دایره، چگونه می‌توانید مفهوم «دایره بودن» را توضیح دهید؟ از نظر توپولوژی دایره چیزی نیست مگر یک حلقه (یا منحنی) بسته که دارای یک درون و یک بیرون می‌باشد و حالت خاص آن که یک مرکز و شعاع ثابت دارد، موضوعی پیش پا افتاده است چرا که شعاع ثابت، یک ویژگی گذرا و فانی است. بطور خلاصه، با تمرکز بر روی پرسشی مانند «آن چیست که علیرغم دفورم شدن یک جسم تغییر نمی کند؟»، توپولوژی به دنبال تعریف ویژگی‌های بنیادین «بودن» می باشد.
توپولوژی از دیروز تا آینده
توپولوژی در سال 1736 توسط ریاضیدان نامدار سوئیسی لئونهارد اویلر (Leonhard Euler) بنیان نهاده شد و هرچند مانند اکثر نوآوری‌ها در ابتدا استقبال چندانی از آن به عمل نیامد ولی به مرور زمان رشد زیادی کرد و کاربردهای وسیعی به خصوص در فیزیک مدرن پیدا نمود. امروز نه تنها «فروهر» یا همان ویژگی‌های تغییرناپذیر توپولوژیک اجسام (اشکال) مختلف را می‌دانیم بلکه روابط بین فروهرهای اجسام گوناگون هم شناخته شده‌اند. مثلا اگر فروهر دو جسم (یا دو شکل) به ظاهر متفاوت عین هم باشند می‌دانیم که آن دو جسم قابل تبدیل به همدیگر شدن هستند بدین معنی که با دفورم کردن هر یک از آنها (تحت خمش، کشش و یا پیچش) خواهیم توانست دیگری را به دست بیاوریم. اجسام با فروهر یکسان را اصطلاحا «هم ریخت» (Homomorph) می‌نامیم.
فروهر یک جسم (یا شکل) با سه مشخصه تعریف می‌شود که عبارتند از: تعداد ابعاد، تعداد لبه‌ها و تعداد وجه‌های آن جسم. به عنوان مثال، فروهر یک نوار کاغذی شامل 2 بعد، 2 وجه و 1 لبه (البته با فرض اینکه ضخامت کاغذ صفر باشد) است. این فروهر مستقل از مقدار و میزان دفورم شدن نوار کاغذی می‌باشد و در هر حالتی (مادامی که پاره نشود) همان 2 بعد، 2 وجه و 1 لبه خواهد ماند. از طرف دیگر، فروهر یک توپ فوتبال با سطح صاف شامل 2 بعد، 2 وجه و 0 لبه است. حال چه این توپ باد داشته باشد چه کاملا خالی، فروهر آن همان خواهد بود. گفتیم که در توپولوژی، دو جسم با فروهر یکسان را “همریخت” یا “همومورف” (همو به معنی مشابه و مورف یعنی شکل) می‌نامند. مثلا یک توپ خالی با توپی که باد شده، همریخت یا همومورف می‌باشند. در حقیقت هر شکلی که یک توپ فوتبال تحت تاثیر خمش، کشش و پیچش به خود بگیرد همومورف توپ باد شده است.
بحث همومورف یا همریختی بیانگر این نکته است که دیدگاه توپولوژی در مورد هندسه شبیه دیدگاه عدهای از هنرمندان در مورد واقعیت هست. در آثار بعضی از هنرمندان در حالیکه از زوایای مختلف به موضوع اصلی نگریسته شده است ولی فروهر آنها حفظ شده است. مثلا در بیش از سی تابلوی مونه (Monet) از کلیسای روئن (Rouene) پاریس موضوع همگی همان کلیساست ولی هر کدام با رنگ‌آمیزی متفاوت (شکل 1). این را می شود نمونه‌ای از کار هنری با ایده همریختی به حساب آورد. یادآوری می‌شود که توپولوژیست‌ها نیز وقتی به اجسام نگاه می‌کنند تمام اشکال همریخت آنها را تجسم می‌کنند.
شکل (1)- همومورف در کلیسای روئن مونه
ملاحظه می‌شود که اتحادآفرینی که در فلسفه همریخت‌گرایی یا همومورفیزم هست می‌تواند برای طبقه‌بندی اشکال مورد استفاده قرار گیرد. به عنوان مثال، اشکال مختلف همریخت یک توپ فوتبال همگی دارای فروهر یکسانی با مشخصات 2 بعد، 2 وجه و 0 لبه هستند. بنابراین همین فروهر را می‌توان معرف آن دسته خاص از اشکال در نظر گرفت. از آنجایی که فروهر اجسام غیرقابل تغییر و تخریب می‌باشند، طبقه‌بندی بر اساس فروهر اهمیت خاصی پیدا میکند و مثلا به ما می‌گوید که جسمی با یک فروهر را نمی‌‌توان با خمش، کشش و یا پیچش به جسمی با فروهر متفاوت تبدیل کرد.
مواردی هستند که تنها خمش، کشش و یا پیچش برای تبدیل جسمی به جسم دیگر کفایت نمی‌کنند و ناچار از بریدن و چسباندن قسمت‌هایی از جسم می‌شویم. در این حالات دیگر فروهر جسم جدید همان فروهر جسم قبل نیست. مثلا، اگر دو سر یک نوار کاغذی را به هم بچسبانیم یک استوانه به دست خواهیم آورد و در نتیجه، جسمی (در این مورد نوار کاغذی) با فروهری به مشخصات 2 بعد، 2 وجه و 1 لبه به جسم جدیدی (استوانه) با فروهری به مشخصات 2 بعد، 2 وجه و 2 لبه تبدیل می‌شود. جالبتر اینکه اگر قبل از چسباندن دو سر نوار فوق ابتدا آنرا یک نیم تاب (پیچ) بدهیم و بعد بچسباندیم (شکل 2)، آنگاه موجودی کاملا متفاوت و عجیب به نام نوار موبیوس (Moebius Strip) به وجود می‌آمد که فروهری به مشخصات 2 بعد، 1 لبه و 1 وجه دارد.
عجیب بودن نوار موبیوس به این دلیل است که فقط 1 وجه دارد و غیرعادی بودنش هم به خاطر همین است چرا که تقریبا اکثر سطوحی که می‌شناسیم (مثلا استوانه) دارای 2 وجه (طرف) می‌باشند. این بدان معنی است که اگر بنا باشد یک نفر هر دو طرف (وجه) استوانه را رنگ کند بعد از تمام کردن یک طرف ناچار خواهد بود از لبه استوانه عبور کند تا به طرف دیگر دسترسی داشته باشد در حالیکه در مورد نوار موبیوس می‌تواند بدون نیاز به عبور از لبه همه آنرا رنگ کند.
در بحث‌های دیگری که در مورد توپولوژی خواهیم داشت خیلی بیشتر در مورد نوار موبیوس و خواص آن صحبت خواهیم کرد.
شکل (2)- نوار موبیوس
توپولوژی و نظم حاکم بر جهان
اینکه بگوییم اجسام دارای ویژگی‌های خاصی هستند که مستقل از تاثیرات محیط (مانند دفورم شدن و تغییرات سطحی ناشی از آن) و غیرقابل تخریب می‌باشند، نشان می‌دهد که توپولوژی نیز این باور فیزیک را تقویت میکند که یک نظم ملموسی بر اجسام و اشکال بسیار متفاوت (و به ظاهر پیچیده) جهان فیزیکی ما و در نتیجه ساختار فضازمان حاکم می‌باشد. شایان ذکر است که مذهب هم نیز معتقد به وجود نظم خاص جهان می‌باشد که البته آنرا نتیجه خلقت یک خالق می‌داند که قبل از خلق جهان برنامه‌ریزی کرده است و بنابراین از قبل موجود بوده و ما تنها آنرا به کمک توپولوژی کشف می‌کنیم. لیکن علم امروز بر این باور هست که نظم حاکم بر جهان بعد از خلقت پدیدار گشته است. اینکه علم درست می‌گوید یا مذهب، جواب هرچه باشد در این مرحله از درک ما از جهان چندان هم مهم نیست. آنچه مهم است واقعیتی است که توپولوژی ما را در شناخت نظم حاکم بر حداقل اجسام و اشکال بی‌جان کمک میکند ولی آیا می‌توان از این شاخه ریاضی برای مطالعه نظم حاکم بر موجودات زنده نیز استفاده کرد؟
چرا که نه؟ هرچند که این نویسنده تا امروز موردی را که به توپولوژی موجودات زنده پرداخته باشد مشاهده نکرده است. جای هیچ تردیدی نیست که موجودات زنده متاثر از محیط می‌شوند و بسیاری از خصوصیات آناتومیک، ژنتیک، فیزیولوژیک و روحی روانی آنها در اندرکنش با محیط تغییر می‌کنند. لیکن، همان‌طور که در مثال مربوط به گردهمایی همکلاسی‌ها مطرح شد، پاره‌ای از ویژگی‌های موجودات زنده هم هستند که مستقل از تاثیرات محیط و بدون تغییر باقی می‌مانند و وی را متمایز از همنوعان خود می‌کنند. بررسی این ویژگی‌ها می‌تواند شاخه جدیدی را در توپولوژی ایجاد کند که می توانیم آنرا «بیو-توپولوژی» (Bio-topology) بنامیم.
بحث بالا نشان می‌دهد که از خیلی نظرها توپولوژیست‌ها در درک و شناخت جوهر وجود یا فروهر موجودات جلوتر از دیگران هستند چرا که می‌توانند به آن دسته از پرسش ای بنیادی ما نظیر «توپ بودن یعنی چه» یا «نوار موبیوس بودن یعنی چه؟» جواب بدهند و از کجا معلوم که روزی هم بتوانند پاسخی برای پرسش چندین هزار ساله بشر، «انسان بودن یعنی چه؟» ارائه کنند و شاید ما را در درک «از کجا آمده‌ام، آمدنم بهر چه بود؟”» یاری رسانند. در طول تاریج کم نبوده ند کسانی که به دنبال پاسخ به این پرسش بوده‌اند و با توجه به درک و شناخت‌شان از جهان، هر یک توجیه خاص خود را داشته‌اند. در اهمیت این بحث همین بس که علت پیدایش و بقای ادیان و مذاهب گوناگون و فلسفه‌های مختلف همین پرسش بوده است.
این مقاله را با پرسشی در ارتباط با تغییرات یک فرد در طول عمر وی و نیز آنچه او را «او» می کند آغاز کردیم و اینکه ویژگی‌های تغییرناپذیر هر انسان کدامند که علیرغم بالا رفتن سن همچنان استمرار می‌یابند؟ در پاسخ، تا آنجا که به موجودی به نام انسان (نه یک فرد خاص) مربوط می‌شود، سؤال بنیادی دیگری نیز قابل طرح است. در طول میلیونها سال این «انسان» شکل گرفته است و مدام در تغییر و به‌اصطلاح تکامل بوده است. آن چیست که در این موجود استمرار داشته است؟ گفتیم که شخصیت و پاره‌ای خصوصیات رفتاری هر فرد ویژگی‌هایی هستند که به ندرت در طول زندگی‌اش تغییر می‌کنند. اکنون از خود می‌پرسیم که کدام ویژگی موجودی به نام «انسان» است که چند میلیون سال دوام داشته است و چند میلیون سال دیگر نیز استمرار خواهد یافت (به فرض بقای انسان تا آن زمان) و وی را از دیگر موجودات متمایز خواهد نمود؟
چشم‌انداز تکامل انسان
اگر تئوری تکامل داروین درست باشد، باید تغییراتی که در انسان و هم در حیوانات پیش خواهند آمد بسیار زیاد باشد. در حال حاضر معیار تمایز انسان از حیوان، اغلب بر خصوصیات فیزیکی آنها تمرکز دارد. متخصصین رده‌بندی موجودات زنده روش‌های های مفیدی ابداع کرده‌اند. مثلا آنها را بر اساس نسبت وزن مغز به وزن بدن، ساختمان اسکلت استخوانی، روش حرکت و راه رفتن، تعداد انگشتان پا و غیره طبقه‌بندی می‌کنند. لیکن هنوز امکان طبقه‌بندی موجودات، مثلا بر اساس احساسات و عواطف را نداریم. هرچند که عواطف یک حیوان همانقدر برای یک متخصص رده‌بندی موجدات زنده مهم است که تعداد لبه‌های یک جسم برای یک مهندس.
شاید روزی در آینده نه چندان دور برسد که هنگام تولد نوزاد با قرار دادن یک میکروپروسسور و مقداری حافظه بیوالکترونیکی در زیر پوستش، توان مغز انسان به حدی برسد که حتی در تصور انسان امروز نمی‌گنجد. قدرت بینایی انسان به کمک همین میکروپروسسور و نانو سنسورهای خاص چنان بالا خواهد رفت که همزمان کار میکروسکوپ و تلسکوپ را با هم انجام دهد. روزی نه چندان دور، تلفن و تلویزیون و کامپیوتر شخصی همه در زیر پوست انسان خواهند بود، موجودی که نیم انسان و نیم ربات خواهد بود. توانایی علمی و جهان‌بینی برگرفته از علم که در انسان امروز شاهد هستیم در طی تکامل طبیعی از انسان نتاندرال به اینجا رسیده ست. اینکه انسان‌های قرن بعد که از پدر و مادران نیم انسان/نیم ربات تولید خواهند شد، چه توانایی‌هایی خواهند داشت غیر قابل تصور است و خارج از بحث این مقاله. لیکن یک چیز معلوم است و آن اینکه همان موجود باز خود را انسان خواهد دانست. حال، ویژگی‌های توپولوژیکی که از انسان نسل ما تا انسان یک یا صد قرن بعد از ما استمرار خواهند یافت چه خواهند بود؟
اصلا بیایید از اثرات تکنولوژی چشم‌پوشی کنیم و تنها تئوری تکامل داروین را در نظر بگیریم. فرآیند تکامل ناشی از موتاسیون ژنها و انتخاب طبیعی، در میلیونها سال بعد از این موجودی را شکل خواهند داد که ظاهر (و شاید نه باطن) آن شباهتی به من و شما نخواهد داشت ولی خود را در تمایز با دیگر موجودات زنده انسان خواهد نامید. چه ویژگی‌های توپولوژیکی از من و شما تا آن موجودات استمرار خواهند یافت؟ آشکار است که حیوانات نیز تغییر خواهند کرد. حال اگر یک گردهمایی خیالی با موجودات زنده آن زمان داشته باشیم چگونه انسان آن روز را از انسان امروز و یا حیوانات آن روز تشخیص خواهیم داد؟ بر اساس کدام ویژگی‌های توپولوژیکی؟
| از خانه برون رفتم، مستیم به پیش آمد | در هر نظرش مضمر صد گلشن و کاشانه |
| چون کشتی بی لنگر کژ می‌شد و مژ می‌شد | وز حسرت او مرده صد عاقل و فرزانه |
| گفتم زکجایی تو؟ تسخر زد و گفت ای جان، | نیمیم ز ترکستان، نیمی ز فرغانه |
| نیمیم ز آب و گل، نیمیم ز جان و دل | نیمیم لب دریا، نیمی همه دردانه |
| گفتم که رفیقی کن با من که منت خویشم! | گفتا که بنشناسم من خویش ز بیگانه* |
من فکر می‌کنم که ویژگی توپولوژیکی «انسان» همان حسی است که خویش و بیگانه را جدای از هم نمی‌داند. «انسان» واقعی یک میلیون سال پیش هم این حس را داشت و «انسان» واقعی امروز هم دارد.
سعدی نیز درک عمیقی از ویژگی توپولوژیکی «انسان» داشته است که بنی آدم را اعضای یکدیگر می‌دید و اعتقاد داشت که درد هر عضو را با بی‌قراری اعضای دیگر می‌توان تسکین داد. قبل از سعدی نیز سرزمین من و شمای ایرانی را فرمانروایی آگاه و دانا اداره می‌کرد که تمام ویژگی‌های توپولوژیک «انسان بودن» را یکجا در خود داشت. هم او که آزادی را جوهر وجود یا فروهر انسان می‌دانست و بخشش و مهربانی را تار و پود وی تعبیر کرد، آنچنان که بر منشورش نگاشتند.
*پی‌نوشت:
اشعار، از شاعر و عارف نامدار ایرانی، مولانا است.