پرسش و پاسخ کلاس تئوری آشوب و کاربردهای آن (آشوب1):

 

شروین ممتحن- جلسه نهم (7 فروردین1400)
"مدل کردن سیستمهای واقعی"
با درود،
در صورت امکان درباره مراحل بررسی سیستمهای واقعی/طبیعی/انسانی از ابتدا تا رسیدن به پرتره فاز سیستم توضیح دهید. سوالاتم را با مثالهایی مطرح می کنم که طولانی است و چاره ای جز این ندارم و پوزش می خواهم.
مثلاً میخواهیم دینامیک تغییرات قیمت یک سهام را در بورس بررسی کنیم:
1) از اولین مرحله یعنی تعیین پارامترهای حالت سیستم با چالش مواجهیم. به ظاهر یک منحنی قیمت سهام داریم که در نظر اول باید آنرا پارامتر سیستم تعریف کنیم اما در واقعیت، پارامترهای سیستم که وضعیت آنرا در هر نقطه بطور جامع و مانع تعریف کنند چیزهای دیگری باید باشند و قیمت تنها منعکس کننده برایند شرایط است. مثلاً فشار خریداران و فروشنده ها که میتواند به صورت یک پارامتر برای هر نقطه از زمان تعیین شود.
پس سوال اول: پارامترهای سیستم را چگونه به درستی تعریف کنیم؟
2) در چنین سیستمی هیچ ایده ای یا ایده قابل قبولی از معادلات تکوین و دینامیک سیستم نداریم. تنها چیزی که داریم اطلاعات از سری های تاریخی گذشته است که به وفور در دسترس است اما حرکت قیمت به یک random walk شبیه است. سیستم به حدی پیچیده شده و تکامل یافته که تلاش برای یافتن توابع احتمالاً به جایی نمی رسد. سیستم معادلات هواشناسی لارنس را در نظر بگیرید که به ترس و طمع انسان هم گره خورده باشد.
حال سوال دوم این است: آیا برای بررسی چنین سیستمی می توان و باید به معادلات ریاضی شسته و رفته ای رسید تا بتوان آنها را حل کرد؟ اگر بله روش آن چه می تواند باشد. وگرنه چه باید کرد و آیا اصولاً می توان از آشوب به این سیستمها نگریست (که اگر آشوب نتواند چه بتواند؟!)
3) آیا ممکن است بتوان بر اساس شناختی کلی که از سیستم داریم نقاط بحرانی و انواع آنرا در سیستم تخمین بزنیم و بر اساس آنها پرتره فاز را ترسیم کنیم؟ مثلاً در جامعه، آینده و گذشته افراد را بر اساس پارامترهای میزان درآمد و میزان رضایت زندگی می خواهیم بررسی کنیم. می دانیم یک مقدار برای درآمد وجود دارد که کمتر از آن با افزایش درآمد، رضایت بصورت مستقیم و خطی افزایش می یابد و بعد از آن، افزایش رضایت نرخ کندی می گیرد تا به حدی مجانب شود. و میدانیم نقطه ای هم وجود دارد در درآمدهای بالا که اطراف آن خودکشی اتفاق می افتد. هر کدام از این وضعیتها ممکن است رفتاری مشابه رفتار انواع نقاط fixed point باشد. مثلاً آنجا که خودکشی اتفاق می افتد یک stable spiral باشد.
پس سوال سوم: آیا می توان شرایط خاص شناخته شده در سیستم را به صورت نقاط بحرانی تعریف کرد و سپس پرتره فاز را ترسیم کرد و از آن برای شناخت و کنترل (مثلاً خارج کردن از اسپایرال منجر به خودکشی) استفاده کرد؟
با سپاس

ناصری: سوال شما تا جایی که به تئوری آشوب مربوط می‌شود، پاسخی ندارد.اما تئوری آشوب پاسخ به این سوال «در هر لحظه» را می تواند بدهد. مثلا اینکه در این لحظه تغییرات بورس چگونه است (اگر رفتار آشوبناک داشته باشد که عموما دارد) را می‌تواند بدهد اما نمی‌تواند پیش‌بینی کند که در لحظه بعد چه خواهد بود و حتی لحظه قبل چه بوده است. البته استثناهای خاصی وجود دارد که اگر اجازه دهید در ادامه درس تئوری آشوب به آنها برسیم. ما هنوز در ابتدای موضوع هستیم و وارد آشوب نشده‌ایم. تا اینجا ابزار ریاضی را آماده کردیم تا بتوانیم وارد بحث تئوری آشوب شویم که مهم‌ترینش bifurcation سیستم‌های یک‌بعدی و دوبعدی است. در درس بعدی که در تئوری آشوب خواهیم داشت، آشوب را وارد صحبت‌هایمان خواهیم کرد و خواهید دید که رفتارهای آشوبناک، در زمان برای خودشان یک attractor خاصی دارند. درباره این اترکترها در درس اول به طور مفهومی صحبت کردیم.این strange attractor در حقیقت ساختار فراکتالی است و این یعنی نظمی دارد. پس در دل هر رفتار آشوبناکی یک نظمی پنهان است. این نظم در زمان توصیف می‌کند که یک رفتار آشوبناک چطور تغییر می‌کند. اگر بتوانیم این strange attractor را بدست بیاوریم و یا معادله اش را به دست آوریم، آن موقع همه چیز قابل پیش‌بینی می‌شود. مثلا بازار بورس امروز را با استفاده از داده‌های قبلی می‌توانیم پیش بینی کنیم که در آینده به کجا خواهد رفت. اما متاسفانه تئوری آشوب توان پیدا کردن آن  strange attractor را ندارد. چون   strange attractorکه به دست بیاورید در نهایت باید یک معادله تکوینی سیستم را داشته باشید تا با بررسی این معادله تکوینی در چارچوب صحبت‌هایی که تا حالا داشتیم در تئوری آشوب، بررسی کنید تا ببینید کجا آشوب اتفاق افتاده و کجا strange attractor و ...
این سوال را اگر بعد از درس بعدی می پرسیدید بیشتر و دقیقتر می‌توانستم توضیح بدهیم.اما همین‌ قدر می‌توان گفت که تا جایی که به تئوری آشوب، به فیزیک و رفتارهای رندوم مربوط می شود، به طور کلی، دانش امروز هیچ جوابی ندارد برای دیدن مثلا آینده بازار بورس یا سیستم‌هایی که توسط ماتریس‌های رندوم تغییراتشان را می‌توانیم توضیح بدهیم.
مثلا درختی را در نظر بگیرید که 10 هزار شاخه دارد، با هیچ معیاری از دانش امروز بشری نمی‌توان توزیع قطر شاخه‌های درخت را توضیح داد. پس آن ماتریس رندومی که می توان شکل بدهیم، قابل توصیف نخواهد بود. می‌توانیم دیتاهای ماتریس (مثلا eigen value هایش) را به دست بیاوریم اما نمی‌توانیم بگوییم این ماتریس در آینده چه خواهد شد یا حتی در گذشته چه بوده است. اگر هم توصیف شود بر اساس تقریب بوده و می تواند گاها کاملا خطا داشته باشد.
همانطور که در وبینار اشاره کردم، پروژه MZ2 اساسا دنبال همین است. ماتریسی که الان شاخه‌های درخت را توصیف می‌کند بگوید در آینده چگونه خواهد بود و این را بر اساس monster و صفرهای تابع زیتا (Zeta function zeros)می‌تواند بگوید. در چارچوب پروژه  MZ2 می‌توانیم بگوییم این درخت در آینده چطور تکوین پیدا خواهد کرد. در حال حاضر یک چیزهایی را می توانیم بگوییم ویک چیزیهای را داریم بر رویش کارتحقیقاتی می کنیم.
به جای شاخه های درخت، بازار بورس را در نظر بگیرید.هر بورسی برای خودش داده‌هایی دارد. داده‌ها را امروز در یک ماتریس رندوم بگذارید، eigenvalue هایش را به دست بیاورید.(لطفا ویدیوی بیولوژی پدیدایی ببینید که چطور می‌توان اینها را به دست آورد). با دانش فعلی بشر، نمی‌توان گفت این ماتریس چطور در زمان تغییر خواهد کرد. یعنی چه؟ یعنی این عددهای که بورس شما را امروزمشخص می کند در آینده چطور خواهد بود.  اما به کمک پروژه MZ2 در چارچوب مانستر و زتا زیرو، اطلاعات خیلی خوبی می توانیم بدست بیاوریم که در آینده چه چیزهایی می تواند پیش بیاید و نهایت آن Strange Attractor را که دارد می توان پیش بینی کرد که به چه شکلی می تواند باشد.
اینجا جواب دادن مشکل است. من اینها را ضبط می کنم و به صورت وویس می‌فرستم و یکی از همکارها زحمت می‌کشند  تبدیل به متن می‌کنند که کار مشکلی است و من قدردان ایشان هستم. این سوال را اگر در یکی از وبینارها بپرسید با جزییات بیشتر می‌توانم بگویم.هرچند توصیه می‌کنم کمی صبر کنید تا درس تئوری آشوب تمام شود. نباید انتظار داشته باشید بعد ازچند درس بتوانیم به این سوالات بنیادی جواب بدهیم .اگر بنا بود کسی بتواند بازار بورس را توصیف و پیش‌بینی کند الان میلیاردها میلیارد پول داشت.

 

امیر خزینه دارلو- جلسه اول(6 فروردین 1400)
" حالت عمومی معادله دیفرانسیل فنر"
با سلام و عرض ادب
استاد جان ببخشید اگر سوال من ابتدایی است ولی در جلسه اول که شما حالت عمومی معادله دیفرانسیل فنر را مینویسید صحبت از x دات تابعی از متغیر های x1 و x2 و x3 و .... میکنید در حالی که ما فقط یک متغیر داریم و آن هم زمان است . منظور اینکه x1 دات = f(t) و همینطور x2 دات = f(t) من فکر کنم عنوان متغیر در اینجا اشتباه است. و فرض x1 =x درست نیست و x ما خودش تابع است و میبایستی x1 =t باشد و x2 هم که نداریم. خلاصه اینکه الان سی و اندی سال میگذرد که من با ریاضیات سر و کار نداشتم شاید اشتباه برداشت کردم.

ناصری: سوال کاملا به جایی، در زمان مناسبی است؛ خوشحالم که شما این سوال را پرسیدید چون ممکن است برای دیگران هم مطرح شود. در حقیقت برای همه کسانی که اولین بار وارد چنین مبحثی می‌شوند، این سوال همیشه در ذهنشان هست و بهتر است در همین مرحله به آن پاسخ داده شود.من در طی جلسه کلاس تلاشم را کردم اما همیشه این تلاش‌ها موفقیت‌آمیز نیست یا به نوع دیگر بگویم بعضی از افراد از زاویه دیگری نگاه می‌کنند و کسی که دارد درس می دهد آن زاویه را در آن لحظه متوجه نیست. بهر حال سوال بسیار خوبی است.
در این درس x را به عنوان محور فضا در نظر نگیرید. x را کمیتی که می‌خواهیم آن را مطالعه کنیم در نظر بگیرید. مثلا فرض کنید قد یک انسان یا یک درخت را در زمان می خواهیم مطالعه کنیم. آنچه مهم است بدانید این است که تمام درس‌هایی که داریم مثلا تئوری آشوب، تغییرات کمیت‌های مورد علاقه ما را در "زمان" توصیف می‌کنند. بنابراین در این بحث‌ها دنبال این هستیم که بدانیم با توجه به قانونی که بر آن حاکم است، قد این درخت یا انسان،در زمان چگونه تغییر می‌کند. این قانون معادله‌ای است که دارد.یک محور اصلی دیاگرامی که برای مطالعه انتخاب می‌کنیم همان کمیتی است که می‌خواهیم مطالعه کنیم (مثلا قد یک موجود)، اسمش را می‌گذاریم x. محور بعدی، تغییرات این کمیت، در زمان است. مثلا قد من یا x در این لحظه یک عدد است، در لحظه دیگر عدد دیگری است. این عوض شدن اعداد و تغییرات را روی محور عمود بر x نشان می‌دهیم. به آن می‌گوییم تغییرات x در زمان. پس محور عمودی می‌شود «تغییرات کمیت در طی زمان» و محور افقی می‌شود خود «کمیت».
ممکن است بپرسید پس زمان کجاست؟ ما با خود زمان فعلا کار نداریم؛ در درس‌های دیگر آن را هم وارد خواهیم کرد.در حقیقت زمان به طور ضمنی در این دیاگرام وجود دارد نه به طور صریح. زمان به کمک محور عمودی،در دیاگرام نهادینه شده است. منحنی که به دست می‌آید نشان می‌دهد که کمیت ما در زمان چطور تغییر می‌کند. این منحنی را تراجکتری (Trajectory) می‌گوییم. در دل این تراجکتری، زمان نهفته است. به همین سادگی. اگر در جایی این تراجکتری متوقف شود یعنی کمیت مورد نظر ما در زمان، دیگر تغییر نمی‌کند.
بنابراین می‌توانیم تغییرات میزان هورمون انسولین یک انسان را در زمان (فرض کنید در 24 ساعت) مطالعه کنیم. در این صورت محور افقی را کمیت انسولین در نظر می‌گیریم و تغییرات آن  در زمان را روی محور عمودی نشان می‌دهیم، از این نقاط ،یک تراجکتری به دست می‌آید.
ولی گاهی می‌خواهیم تغییرات دو کمیت را که روی هم اثردارند را در زمان مطالعه کنیم. مثلا میزان انسولین در هر لحظه با مقدار آدرنالین در همان لحظه (که روی هم از نظر بیوشیمی اثر دارند) را در طی زمان بخواهیم مطالعه کنیم. در واقع می‌خواهیم اثر این دو را بر هم و تغیرات آنها را روی دیاگرام ببینیم. برای این کار یکی از محورها را مقدار انسولین و دیگری را مقدار آدرنالین در نظر می‌گیریم. اینجا محور سومی نداریم که تغییرات در زمان هر یک از این کمیت‌ها را نشان دهد. اما زمان به صورت ضمنی وجود دارد. هر نقطه‌ای که روی این صفحهx-y  ببینیم در یک لحظه، مقدارxو y را نشان می‌دهد و در لحظه دیگر در نقطه دیگری خواهد بود. از این مقادیر در لحظات مختلف، یک تراجکتری بوجود می آید. این تراجکتری تغییرات دو کمیت را  در زمان نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که زمان در این دیاگرام نهفته است. با مطالعه این نوع دیگرام‌ها می‌توانیم ببینیم در سیستم بدن فرد چه اتفاقاتی می‌افتد.
به همین ترتیب گاها می‌توانیم 50 متغییر را همزمان با هم مطالعه کنیم. مثلا تغییرات فشار خون فرد و اثر آن بر تغییرات انسولین و تغییرات آدرنالین در کنار تغییرات تیروئید، تغییرات دما و ... را به طور همزمان مطالعه کنیم.در این صورت یک دیاگرام 50 بعدی خواهیم داشت که نمی‌توانید آن را ببینید اما دو به دو، روی یک صفحه می‌توانید ببینید.اما در ذهن خود می‌توانید این دیاگرام 50 بعدی را مجسم کنید که هر یک از ابعاد، یکی از کمیت‌های مورد علاقه ماست. در اینجا دوست نداریم بگوییم x (انسولین) متغیر ما است.  اسم این‌‌ها را متغیر بگذارید کمی گیج می‌شوید. کمیتی است که می خواهیم تغییراتش را در زمان مطالعه کنیم.
در ادامه درسها، این موضوع  قطعا جا خواهد افتاد. در یک جاهایی نیز، خود زمان را یک جورهایی در دیاگرام نشان خواهیم داد. فعلا زود است و تازه اولهای این درس است. یک مقدار حوصله بکنید. خوشحال شدم که این سوال را پرسیدید.

 

محمد صیفوری- جلسه دوم (18 اسفند99)
" انتخاب پدر و مادر"
با درود دکتر ناصری گرامی
در اساطیر باستانی ایرانی داستانی درباره نجات یافتن کیکاووس توسط کیخسرو نوه ی متولد نشده اش وجود دارد به این ترتیب:
آیا از نظر علمی می تونیم بگوییم که بچه ها پدر و مادر انتخاب می کنند؟

ناصری: پاسخ به سوال شما فعلا خیلی مشکل است. اما در ادامه درسها، وقتی رسیدیم به آنجایی که تئوری آشوب و کوانتوم را در کنار هم مطالعه می کنیم، آنجا خواهید دید که دقیقا من به این پرسش می پردازم. اگر فرض کنیم که تئوری کوانتوم به موجودات زنده قابل اعمال باشد (که از نظر خود من، هست ولی خوب، نظر من نظر قاطعی نیست) اگر چنین چیزی باشد، آن موقع نشان خواهیم داد که سوالهایی از این قبیل را می شود در چارچوب تئوری کوانتوم بعلاوه تئوری آشوب، حلاجی کنیم و تحلیل کنیم. اینکه جواب قطعی بدهیم، احتیاج به پاره ای آزمایشات دارد. بهر حال سوال خوبی است ولی منتظر می شویم ببینیم که بعد از اینکه شما همه دروس تئوری آشوب را گذراندید وارد یک بحثی خواهیم شد با عنوان آشوب کوانتومی (Quantum Chaos) که از آنجا به بعد چون فرمالیسم لاگرانژی و همیلتونی را هم احتیاج داریم، خواهیم توانست وارد چنین بحثهایی بشویم (که می شویم). یکی از اهداف آکادمی (هدف اصلی) مطالعه انسان بویژه مغز انسان است. آنجا بیشتر وارد این جزئیات خواهیم شد.

 

عزیز ذبیحی- جلسه چهارم (14 اسفند99)
" فیکس پوئنتهای موهومی"
سلام و عرض ادب استاد گرامی
در مورد پایدار یا ناپایدار بودن ریشه های موهومی میتوان همانند ریشه های حقیقی قضاوت کرد؟
آیا فیکس پوئنتهای موهومی هم با تغییر مقدار پارامتر کنترلی همانند حقیقی ها تغییر حالت می دهند؟(از پایدار به ناپایدار یا بالعکس).
سپاسگزارم

ناصری: هیچ فرقی نمی کند. وقتی پارامتر کنترل (r) تغییر می کند و ریشه ها می پرد و به بعد موهومی می رود، آنجا شما دو تا ریشه خواهید داشت. منتها مثل این است که شما محور متغیرتان (x) که x1 و x2 باشد را الان در یک i ضرب خواهید کرد. یعنی ix1 و ix2 خواهید داشت. مثل این است که سهمی شما، این محور شما را (ix) را در دو نقطه قطع خواهد کرد. مثل حالت قبلی ، می توان بررسی کرد که کدام پایدار و کدام ناپایدار است. سوال خیلی مهمی است. من وارد جزییاتش نشدم ولی در ادامه صحبتها درآکادمی خیلی بیشتر به این خواهیم پرداخت. اینکه چه بلایی بعدها می تواند سر این دو ریشه در محور موهومی بیاید.
با توجه به انگیزه تان و هوش زیادی که دارید و سوالهایی که می کنید ، یک مقدار روی آنها فکر کنید. چیزهای جالبی باید به ذهنتان برسد. ممنون از سوال قشنگی که پرسیدید.

 

امیر حسین فرتاش- جلسه اول (11 اسفند99)

"دینامیک غیرخطی"
با سلام خدمت استاد ارجمند. از بابت آموزش بسیار جالب و روشنگر شما در راستای تفهیم مبحث بسیار جذاب آشوب، سپاسگزارم.
با توجه به اینکه رشته اینجانب مهندسی مکانیک گرایش جامدات است، با معادلات دیفرانسیل جزئی و غیرخطی کم و بیش سروکار داشته ام. در رابطه با موضوعی که در جلسه اول دینامیک غیرخطی مطرح فرمودید اینکه فیزیکدان ها تمایل ندارند با معادلات دیفرانسیل غیرخطی سروکار داشته باشند، با شما بسیار موافقم. زیرا calculus ابزار مناسبی جهت حل اینگونه معادلات ارائه نمیدهد. مگر در مواردی که هندسه مسئله و شرایط مرزی به اندازه ای ساده باشند که بتوان معادلات حاکم بر مسئله را با فرض های ساده کننده ای به صورت تحلیلی حل کرد.
سوالی که برایم مطرح شد، روش ارائه شده توسط آقای پوانکاره در مواجهه با هندسه مسئله و شرایط مرزی به چه صورت عمل می کند؟
بسیار مشتاقم بدانم روش ارائه شده توسط پوانکاره در مواجهه با معادلات PDE غیرخطی چگونه عمل میکند؟ به عنوان مثال، آیا معادلات معروفی چون معادلات انتقال حرارت، معادله ناویر در جامدات و ناویر-استوکس در سیالات و یا حتی دستگاه معادلات PDE کوپل به کمک این روش، قابل حل اند؟

ناصری: همانطور که متوجه شدید روش پوانکاره برای مطالعه معادلات دیفرانسیل Ordinary Differential Equation  است که مهم نیست درجه چند باشد. در جلسات بعدی خواهید دید که معادله از هر درجه ای باشد ، می شود با این روش مطالعه کرد. ولی اینکه Partial Differential Equation ها را بشود؟ نه.
مستقیما ما آنها را مطالعه نمی کنیم. واقعیت این است که لازم هم نیست(به دلایلی که در ادامه صحبتها خواهید دید.) ولی گاها می شود Partial Diff. Eq ها را با تغییر متغیر تبدیل کرد به Ordinary Diff. Eq  و در اینصورت می شود از این روش برای مطالعه آنها استفاده کرد.
لطفا توجه کنید که روش پوانکاره برای مطالعه دینامیک سیستم است. یعنی تغییرات سیستم در زمان. یعنی مشتق نسبت به زمان( d به dt). مثلا اگر "فای" یک کمیت باشد، تغییرات در زمان آن، "d به dt فای" برای ما مهم است که با "فای دات" نشان می دهیم.در Partial Diff. Eq چون هم مشتقهای فضا داریم (x,y,z در مختصات کارتزین) و هم زمان، چون دینامیک سیستم بر اساس تغییرات در زمان است، فقط مشتق زمان را در نظر می گیریم. این هم یک دلیل دیگر است که ما به خود Partial Diff. Eq در این روش چندان اهمیت نمی دهیم.
در مورد شرایط مرزی، باید گفت که شرایط مرزی حتما مهم است و در نظر می گیریم. فعلا تازه بحثها شروع شده و یکی دو جلسه رفته ایم جلو. جلوتر برویم خواهید دید که مباحث فوق العاده شیرین و فوق العاده پیچیده ای را می شود با این روش مطالعه کرد. در حقیقت می شود مباحث و سیستمها یی را مطالعه کرد که بدون این روش ، تقریبا نا ممکن است. خصوصا وقتی که غیر خطی است . یک مقدار حوصله کنید، می رسیم. ممنونم.

 

جواد صفتی- جلسه دوم(02 اسفند99)

"قراردادی بودن جهت فلش"
با درود بر استاد نازنین ... بسیار سپاس از دانش و منش شما در آموزش بی دریغ آنچه که برای آموختنش سالیان دراز زمان گذاشته اید ... در جلسه دوم گفتید که ما قرارداد میکنیم جهت فلش (Flash) در بخش مثبت نمودار به سمت راست و در بخش منفی به سمت چپ باشد ...به گمان من جهت فلش نمیتواند تنها یک امر قراردادی باشد چرا که همین جهت فلش در تعیین stable fix point تاثیرگذار است ... چرا که اگر ما از آغاز قرارداد کنیم «جهت فلش در بخش مثبت نمودار به سمت چپ و در بخش منفی نمودار به سمت راست باشد»، نقاطی دیگر به عنوان stable fix point شناخته میشوند ...

ناصری: جهت فلش خیلی هم قراردادی نیست. حق با شماست و من پوزش می خواهم. ولی خیلی هم خارج از قرارداد نیست.در حقیقت جهت فلش، جهت تغییرات متغیر ماست. وقتی متغیر ما زیاد می شود، بنابراین تغییرات ما مثبت است. ما این را در امتداد x مثبت می گذاریم. اگر تغییرات ما کم است، منفی می شود و ما فلش را در جهت x منفی می گذاریم (به طرف چپ). اینکه می گوییم قراردادی است بر می گردد به این واقعیت که در طول تاریخ جبر،  ما x مثبت را همیشه به سمت راست کشیدیم و x منفی را به طرف چپ. حال اگر بخواهیم این قرارداد را دنبال کنیم، فلش ما هم تغییرات مثبت اش به سمت راست و تغییرات منفی اش در جهت چپ خواهد بود. باز هم از دقت شما ممنونم و قدردانی می کنم و خوشحالم که امثال شما که اینقدر دقیق موضوعات را دنبال می کنید با ما همراه هستید.